Suiv.: 1.3 Mise en oeuvre dans Modulef Sup.: Généralités Préc.: 1.1 Introduction Index Table des matières

Exemple de problème thermique et élastique

Problème thermique :

avec :

• u : température du point courant à chaque instant t,
• : flux de température au point considéré le long d'une ligne (surface en 3D) de normale n à chaque instant t,
• : capacité thermique,
• : coefficients du tenseur de conductivité thermique,
• : coefficient de transfert à travers ,
• : la quantité de chaleur fournie en chaque point du domaine ,
• : avec température sur ,
• : température imposée sur la frontière ,
• : température initiale (à l'instant ),
• n : normale extérieure à la frontière

Problème élastique (sans contraintes initiales) :

avec

• : le déplacement, à chaque instant t du point courant,
• : la densité du matériau,
• : le tenseur des contraintes,
• : le tenseur des déformations linéaires,
• : le tenseur d'élasticité,
• : les efforts volumiques (ou surfaciques en 2D) appliqués à ,
• : les efforts surfaciques (ou linéiques en 2D) appliqués sur ,
• : le déplacement imposé sur .
• : la condition initiale (à l'instant .
• : la normale unitaire extérieure à .

Remarque : Lorsque le matériau utilisé est isotrope, le tenseur d'élasticité et le tenseur des contraintes s'écrivent :

où E est le module d'Young et le coefficient de Poisson.

Le module d'Young E et le coefficient de Poisson sont reliés aux coefficients de Lamé et par les relations :

Pour ces deux exemples, toutes les données à fournir lors la résolution du problème ont été soulignées.

Sous certaines conditions de régularité, les formulations variationnelles 1.3 et 1.4 données ci-dessous sont équivalentes aux problèmes 1.1 et 1.2.

On note que les données du problème peuvent être réparties en deux classes :

• les données liées à la formulation variationnelle (les coefficients des matériaux et les conditions aux limites naturelles),
• les données liées aux conditions aux limites forcées.

Formulation variationnelle en température du problème thermique

Formulation variationnelle en déplacement du problème élastique

Au vu de ces formulations variationnelles, il est possible de recenser toutes les données à fournir au programme d'éléments finis. Ces données sont réparties en plusieurs classes , et chacune de ces classes correspond à une étape de calcul :

1. le type de problème à résoudre (thermique, élastique ou autre)
2. la discrétisation et l'interpolation (choix de l'élément fini). Cette étape indique comment les espaces continus sont approchés par les espaces discrets, ie approximation,
3. les données physiques (efforts volumiques ou surfaciques, tenseur d'élasticité ou tenseur de conductivité thermique ...), (le calcul des matrices élémentaires)
4. les conditions aux limites, (la prise en compte des conditions aux limites forcées).